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番外 · 题谱 · 2007 · P1

2007 CMO 第 1 题

数论 · P1/P4 · 起手题

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题面 CMO · 2007 · P1
来源 context

题面据中国数学奥林匹克 / AoPS 可核档案整理；中文题意为本站自译，英文行为来源英译摘要，公式请以原始来源为准。

CMO 2007 P1 number-theory

Given complex numbers a,b,ca, b, c , let ∣a+b∣=m,∣a−b∣=n|a+b|=m, |a-b|=n . If mn≠0mn \neq 0 , Show that

max⁡{∣ac+b∣,∣a+bc∣}≥mnm2+n2\max \{|ac+b|,|a+bc|\} \geq \frac{mn}{\sqrt{m^2+n^2}}

给定复数 a,b,ca, b, c ，令 ∣a+b∣=m,∣a−b∣=n|a+b|=m, |a-b|=n 。如果 mn≠0mn \neq 0 ，表明

max⁡{∣ac+b∣,∣a+bc∣}≥mnm2+n2\max \{|ac+b|,|a+bc|\} \geq \frac{mn}{\sqrt{m^2+n^2}}

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先看模小素数、最大公因数或整除链。

提示 2

把整数条件转成同余方程或 p 进指数比较。

提示 3

若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例或下降。

解答 folded
完整解答

题面已直接收录。先把 2007 年 CMO 第 1 题的条件整理成对象、关系、目标三部分；再沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；最后补齐边界情形，并回到原题要求核对。