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番外 · 题谱 · 2014 · P1

2014 CMO 第 1 题

数论 · P1/P4 · 起手题

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题面 CMO · 2014 · P1
来源 context

题面据中国数学奥林匹克 / AoPS 可核档案整理；中文题意为本站自译，英文行为来源英译摘要，公式请以原始来源为准。

CMO 2014 P1 number-theory

Prove that: there exists only one function f:N∗→N∗f:\mathbb{N^*}\to\mathbb{N^*} satisfying:

i) f(1)=f(2)=1f(1)=f(2)=1 ;

ii) f(n)=f(f(n−1))+f(n−f(n−1))f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1)) for n≥3n\ge 3 .

For each integer m≥2m\ge 2 , find the value of f(2m)f(2^m) .

证明：只存在一个函数 f:N∗→N∗f:\mathbb{N^*}\to\mathbb{N^*} 满足：

i) f(1)=f(2)=1f(1)=f(2)=1;

ii) f(n)=f(f(n−1))+f(n−f(n−1))f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1)) 对于 n≥3n\ge 3 。

对于每个整数 m≥2m\ge 2 ，找到 f(2m)f(2^m) 的值。

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先看模小素数、最大公因数或整除链。

提示 2

把整数条件转成同余方程或 p 进指数比较。

提示 3

若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例或下降。

解答 folded
完整解答

题面已直接收录。先把 2014 年 CMO 第 1 题的条件整理成对象、关系、目标三部分；再沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；最后补齐边界情形，并回到原题要求核对。