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番外 · 题谱 · 2015 · P1

2015 CMO 第 1 题

数论 · P1/P4 · 起手题

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题面 CMO · 2015 · P1
来源 context

题面据中国数学奥林匹克 / AoPS 可核档案整理；中文题意为本站自译，英文行为来源英译摘要，公式请以原始来源为准。

CMO 2015 P1 number-theory

Let z1,z2,...,znz_1,z_2,...,z_n be complex numbers satisfying ∣zi−1∣≤r|z_i - 1| \leq r for some rr in (0,1)(0,1) . Show that

∣∑i=1nzi∣⋅∣∑i=1n1zi∣≥n2(1−r2).\left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).

令 z1,z2,...,znz_1,z_2,...,z_n 为满足 ∣zi−1∣的复数≤r|z_i - 1| 的复数\leq r 对于 (0,1)(0,1) 中的某些 rr 。表明

\左 | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \左| \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先看模小素数、最大公因数或整除链。

提示 2

把整数条件转成同余方程或 p 进指数比较。

提示 3

若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例或下降。

解答 folded
完整解答

题面已直接收录。先把 2015 年 CMO 第 1 题的条件整理成对象、关系、目标三部分；再沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；最后补齐边界情形，并回到原题要求核对。