2019 CMO 第 3 题

Call a set of 3 positive integers $\{a,b,c\}$ a *Pythagorean* set if $a,b,c$ are the lengths of the 3 sides of a right-angled triangle. Prove that for any 2 Pythagorean sets $P,Q$ , there exists a positive integer $m\ge 2$ and Pythagorean sets $P_1,P_2,\ldots ,P_m$ such that $P=P_1, Q=P_m$ , and $\forall 1\le i\le m-1$ , $P_i\cap P_{i+1}\neq \emptyset$ .

如果 $a,b,c$ 是直角三角形 3 条边的长度，则将 3 个正整数的集合称为 $\{a,b,c\}$ 一个 *毕达哥拉斯* 集合。证明对于任何 2 个毕达哥拉斯集合 $P,Q$ ，存在正整数 $m\ge 2$ 和毕达哥拉斯集合 $P_1,P_2,\ldots ,P_m$ ，使得 $P=P_1, Q=P_m$ 和 $\forall 1\le i\le m-1$ , $P_i\cap P_{i+1}\neq \emptyset$ 。