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番外 · 题谱 · 2001 · P3

2001 IMO 第 3 题

组合 · P3/P6 · 超难题

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题面 IMO · 2001 · P3
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2001/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 2001 P3 combinatorics

A3 (ROM) Let x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} be arbitrary real numbers. Prove the inequality x11+x12+x21+x12+x22+⋯+xn1+x12+⋯+xn2<n\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}+\frac{x_{2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{x_{n}}{1+x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}<\sqrt{n}

A3 (ROM) 令 x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} 为任意实数。证明不等式 x11+x12+x21+x12+x22+⋯+xn1+x12+⋯+xn2<n\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}+\frac{x_{2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{x_{n}}{1+x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}<\sqrt{n}

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先决定要数什么对象，或把关系画成图。

提示 2

找一个极端对象、双计数式或不变量。

提示 3

把局部限制累加成全局矛盾或构造。

解答 folded
完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2001 年第 3 题归入 combinatorics：组合结构题：先把对象翻成集合、图、排列或计数过程，抓住不变量、极端对象和双计数入口。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P3 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。

闲谈 aside
闲谈 aside

这题适合拿来练“先不看解答”的耐心：不要急着套大定理，先把题位、主题和题设中最硬的限制写成一行。1990 年以后的 P3/P6 在闲灯中单列为 extremely-hard，复盘时重点看关键引理从哪里冒出来。2001 P3 的叙事题面提醒你：先把人和关系翻成图，再谈计数。