2001 IMO Shortlist S14

Let $M$ be a point in the interior of triangle $ABC$ . Let $A'$ lie on $BC$ with $MA'$ perpendicular to $BC$ . Define $B'$ on $CA$ and $C'$ on $AB$ similarly. Define

$$p(M) = \frac{MA' \cdot MB' \cdot MC'}{MA \cdot MB \cdot MC}.$$

Determine, with proof, the location of $M$ such that $p(M)$ is maximal. Let $\mu(ABC)$ denote this maximum value. For which triangles $ABC$ is the value of $\mu(ABC)$ maximal?

令 $M$ 为三角形 $ABC$ 内部的一个点。让 $A'$ 位于 $BC$ 上，$MA'$ 垂直于 $BC$ 。类似地，在 $CA$ 上定义 $B'$，在 $AB$ 上定义 $C'$。定义

$$p(M) = \frac{MA' \cdot MB' \cdot MC'}{MA \cdot MB \cdot MC}。$$

通过证明确定 $M$ 的位置，使得 $p(M)$ 最大。让 $\mu(ABC)$ 表示这个最大值。对于哪些三角形 $ABC$ 来说 $\mu(ABC)$ 的值最大？