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番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / S14 · geometry

2001 IMO Shortlist S14

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内容 2001 · 34
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2001 S14 geometry

Let MM be a point in the interior of triangle ABCABC . Let A′A' lie on BCBC with MA′MA' perpendicular to BCBC . Define B′B' on CACA and C′C' on ABAB similarly. Define

p(M)=MA′⋅MB′⋅MC′MA⋅MB⋅MC.p(M) = \frac{MA' \cdot MB' \cdot MC'}{MA \cdot MB \cdot MC}.

Determine, with proof, the location of MM such that p(M)p(M) is maximal. Let μ(ABC)\mu(ABC) denote this maximum value. For which triangles ABCABC is the value of μ(ABC)\mu(ABC) maximal?

令 MM 为三角形 ABCABC 内部的一个点。让 A′A' 位于 BCBC 上，MA′MA' 垂直于 BCBC 。类似地，在 CACA 上定义 B′B'，在 ABAB 上定义 C′C'。定义

p(M)=MA′⋅MB′⋅MC′MA⋅MB⋅MC。p(M) = \frac{MA' \cdot MB' \cdot MC'}{MA \cdot MB \cdot MC}。

通过证明确定 MM 的位置，使得 p(M)p(M) 最大。让 μ(ABC)\mu(ABC) 表示这个最大值。对于哪些三角形 ABCABC 来说 μ(ABC)\mu(ABC) 的值最大？

提示 1

先标出固定点、动点、角、圆和长度关系。

提示 2

尝试角追、相似、圆幂、面积比、反演或坐标化中的一种。

提示 3

把关键等式还原成标准定理，或补出一个让结构闭合的辅助点。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2001 年 IMO Shortlist S14 可先归入几何：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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