2003 IMO Shortlist S02

Let $f(k)$ be the number of integers $n$ satisfying the following conditions:

(i) $0\leq n < 10^k$ so $n$ has exactly $k$ digits (in decimal notation), with leading zeroes allowed;

(ii) the digits of $n$ can be permuted in such a way that they yield an integer divisible by $11$ .

Prove that $f(2m) = 10f(2m-1)$ for every positive integer $m$ .

*Proposed by Dirk Laurie, South Africa*

令 $f(k)$ 为满足以下条件的整数 $n$ 的数量：

(i) $0\leq n < 10^k$ 因此 $n$ 正好有 $k$ 位数字(以十进制表示)，允许有前导零；

(ii) $n$ 的数字可以以这样的方式排列，使其产生可被 $11$ 整除的整数。

证明对于每个正整数 $m$ 都有 $f(2m) = 10f(2m-1)$ 。

*由南非 Dirk Laurie 提议*