2019 IMO Shortlist N4

Let $\mathbb{Z}_{>0}$ be the set of positive integers. A positive integer constant $C$ is given. Find all functions $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ such that, for all positive integers $a$ and $b$ satisfying $a+b>C$, $$a+f(b) \mid a^{2}+b f(a)$$ (Croatia)

令 $\mathbb{Z}_{>0}$ 为正整数集合。给出一个正整数常数$C$。查找所有函数 $f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$，使得对于满足 $a+b>C$ 的所有正整数 $a$ 和 $b$，$$a+f(b) \mid a^{2}+b f(a)$$(克罗地亚)