2017 IMO Shortlist A3

Let $S$ be a finite set, and let $\mathcal{A}$ be the set of all functions from $S$ to $S$. Let $f$ be an element of $\mathcal{A}$, and let $T=f(S)$ be the image of $S$ under $f$. Suppose that $f \circ g \circ f \neq g \circ f \circ g$ for every $g$ in $\mathcal{A}$ with $g \neq f$. Show that $f(T)=T$. (India)

设$S$为有限集，$\mathcal{A}$为从$S$到$S$的所有函数的集合。设$f$为$\mathcal{A}$的一个元素，设$T=f(S)$为$S$在$f$下的图像。假设 $f \circ g \circ f \neq g \circ f \circ g$ 对于 $\mathcal{A}$ 中的每个 $g$ 和 $g \neq f$。证明 $f(T)=T$。 (印度)