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番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / G5 · geometry

2013 IMO Shortlist G5

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内容 2013 · 352
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2013 G5 geometry

Let ABCDEFA B C D E F be a convex hexagon with AB=DE,BC=EF,CD=FAA B=D E, B C=E F, C D=F A, and ∠A−∠D=∠C−∠F=∠E−∠B\angle A-\angle D=\angle C-\angle F=\angle E-\angle B. Prove that the diagonals AD,BEA D, B E, and CFC F are concurrent. (Ukraine)

设 ABCDEFA B C D E F 为凸六边形，其中 AB=DE、BC=EF、CD=FAA B=D E、B C=E F、C D=F A 和 ∠A−∠D=∠C−∠F=∠E−∠B\angle A-\angle D=\angle C-\angle F=\angle E-\angle B。证明对角线AD、BEA D、B E 和CFC F 是并发的。 (乌克兰)

提示 1

先标出固定点、动点、角、圆和长度关系。

提示 2

尝试角追、相似、圆幂、面积比、反演或坐标化中的一种。

提示 3

把关键等式还原成标准定理，或补出一个让结构闭合的辅助点。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2013 年 IMO Shortlist G5 可先归入几何：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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