2022 IMO Shortlist N6

Let $Q$ be a set of prime numbers, not necessarily finite. For a positive integer $n$ consider its prime factorisation; define $p(n)$ to be the sum of all the exponents and $q(n)$ to be the sum of the exponents corresponding only to primes in $Q$. A positive integer $n$ is called special if $p(n)+p(n+1)$ and $q(n)+q(n+1)$ are both even integers. Prove that there is a constant $c>0$ independent of the set $Q$ such that for any positive integer $N>100$, the number of special integers in $[1, N]$ is at least $c N$. (For example, if $Q=\{3,7\}$, then $p(42)=3, q(42)=2, p(63)=3, q(63)=3, p(2022)=3$, $q(2022)=1$. (Costa Rica)

令 $Q$ 为一组素数，不一定是有限的。对于正整数 $n$ 考虑其质因数分解；将 $p(n)$ 定义为所有指数的总和，将 $q(n)$ 定义为仅与 $Q$ 中的素数对应的指数的总和。如果 $p(n)+p(n+1)$ 和 $q(n)+q(n+1)$ 都是偶数，则正整数 $n$ 称为特殊整数。证明存在一个独立于集合$Q$的常数$c>0$，使得对于任何正整数$N>100$，$[1, N]$中的特殊整数的数量至少为$c N$。 (例如，如果 $Q=\{3,7\}$，则 $p(42)=3、q(42)=2、p(63)=3、q(63)=3、p(2022)=3$、$q(2022)=1$。(哥斯达黎加)