2009 IMO Shortlist G8

BGR Let $A B C D$ be a circumscribed quadrilateral. Let $g$ be a line through $A$ which meets the segment $B C$ in $M$ and the line $C D$ in $N$. Denote by $I_{1}, I_{2}$, and $I_{3}$ the incenters of $\triangle A B M$, $\triangle M N C$, and $\triangle N D A$, respectively. Show that the orthocenter of $\triangle I_{1} I_{2} I_{3}$ lies on $g$.

BGR 设$A B C D$ 为外接四边形。令$g$ 为一条穿过$A$ 的线，它与$M$ 中的线段$B C$ 和$N$ 中的线$C D$ 相交。 $I_{1}、I_{2}$ 和 $I_{3}$ 分别表示 $\triangle A B M$、$\triangle M N C$ 和 $\triangle N D A$ 的内心。证明 $\triangle I_{1} I_{2} I_{3}$ 的重心位于 $g$ 上。