2021 IMO Shortlist G3

Version 1. Let $n$ be a fixed positive integer, and let S be the set of points $(x, y)$ on the Cartesian plane such that both coordinates $x$ and $y$ are nonnegative integers smaller than $2 n$ (thus $|S|=4 n^{2}$ ). Assume that $\mathcal{F}$ is a set consisting of $n^{2}$ quadrilaterals such that all their vertices lie in $S$, and each point in $S$ is a vertex of exactly one of the quadrilaterals in $\mathcal{F}$. Determine the largest possible sum of areas of all $n^{2}$ quadrilaterals in $\mathcal{F}$. Version 2. Let $n$ be a fixed positive integer, and let S be the set of points $(x, y)$ on the Cartesian plane such that both coordinates $x$ and $y$ are nonnegative integers smaller than $2 n$ (thus $|\mathrm{S}|=4 n^{2}$ ). Assume that $\mathcal{F}$ is a set of polygons such that all vertices of polygons in $\mathcal{F}$ lie in S , and each point in S is a vertex of exactly one of the polygons in $\mathcal{F}$. Determine the largest possible sum of areas of all polygons in $\mathcal{F}$.

版本 1. 令 $n$ 为固定正整数，并令 S 为笛卡尔平面上的点集 $(x, y)$，使得坐标 $x$ 和 $y$ 均为小于 $2 n$ 的非负整数(因此 $|S|=4 n^{2}$ )。假设$\mathcal{F}$是由$n^{2}$个四边形组成的集合，其所有顶点都位于$S$中，并且$S$中的每个点恰好是$\mathcal{F}$中的一个四边形的顶点。确定$\mathcal{F}$中所有$n^{2}$个四边形的最大可能面积总和。版本 2. 令 $n$ 为固定正整数，并令 S 为笛卡尔平面上的点集 $(x, y)$，使得坐标 $x$ 和 $y$ 均为小于 $2 n$ 的非负整数(因此 $|\mathrm{S}|=4 n^{2}$ )。假设 $\mathcal{F}$ 是一组多边形，使得 $\mathcal{F}$ 中的多边形的所有顶点都位于 S 中，并且 S 中的每个点恰好是 $\mathcal{F}$ 中的一个多边形的顶点。确定 $\mathcal{F}$ 中所有多边形面积的最大可能总和。