2001 IMO Shortlist S17

Let $O$ be an interior point of acute triangle $ABC$ . Let $A_1$ lie on $BC$ with $OA_1$ perpendicular to $BC$ . Define $B_1$ on $CA$ and $C_1$ on $AB$ similarly. Prove that $O$ is the circumcenter of $ABC$ if and only if the perimeter of $A_1B_1C_1$ is not less than any one of the perimeters of $AB_1C_1, BC_1A_1$ , and $CA_1B_1$ .

设 $O$ 为锐角三角形 $ABC$ 的内点。让 $A_1$ 位于 $BC$ 上，且 $OA_1$ 垂直于 $BC$ 。类似地，在 $CA$ 上定义 $B_1$，在 $AB$ 上定义 $C_1$。证明 $O$ 是 $ABC$ 的外心当且仅当 $A_1B_1C_1$ 的周长不小于 $AB_1C_1、BC_1A_1$ 和 $CA_1B_1$ 的周长之一。