2011 IMO Shortlist G1

Let $A B C$ be an acute triangle. Let $\omega$ be a circle whose center $L$ lies on the side $B C$. Suppose that $\omega$ is tangent to $A B$ at $B^{\prime}$ and to $A C$ at $C^{\prime}$. Suppose also that the circumcenter $O$ of the triangle $A B C$ lies on the shorter $\operatorname{arc} B^{\prime} C^{\prime}$ of $\omega$. Prove that the circumcircle of $A B C$ and $\omega$ meet at two points.

令$A B C$ 为锐角三角形。令 $\omega$ 为一个圆，其圆心 $L$ 位于边 $B C$ 上。假设 $\omega$ 在 $B^{\prime}$ 处与 $A B$ 相切，并在 $C^{\prime}$ 处与 $A C$ 相切。还假设三角形 $A B C$ 的外心 $O$ 位于 $\omega$ 的较短的 $\operatorname{arc} B^{\prime} C^{\prime}$ 上。证明 $A B C$ 和 $\omega$ 的外接圆在两点相交。