2023 IMO Shortlist G6

Let $A B C$ be an acute-angled triangle with circumcircle $\omega$. A circle $\Gamma$ is internally tangent to $\omega$ at $A$ and also tangent to $B C$ at $D$. Let $A B$ and $A C$ intersect $\Gamma$ at $P$ and $Q$ respectively. Let $M$ and $N$ be points on line $B C$ such that $B$ is the midpoint of $D M$ and $C$ is the midpoint of $D N$. Lines $M P$ and $N Q$ meet at $K$ and intersect $\Gamma$ again at $I$ and $J$ respectively. The ray $K A$ meets the circumcircle of triangle $I J K$ at $X \neq K$. $$\text { Prove that } \angle B X P=\angle C X Q \text {. }$$

设 $A B C$ 为外接圆 $\omega$ 的锐角三角形。圆 $\Gamma$ 在 $A$ 处与 $\omega$ 内切，并且在 $D$ 处与 $B C$ 内切。令$A B$ 和$A C$ 分别与$\Gamma$ 相交于$P$ 和$Q$。令 $M$ 和 $N$ 为线 $B C$ 上的点，使得 $B$ 为 $D M$ 的中点，$C$ 为 $D N$ 的中点。线 $M P$ 和 $N Q$ 在 $K$ 处相交，并分别在 $I$ 和 $J$ 处再次与 $\Gamma$ 相交。射线 $K A$ 在 $X \neq K$ 处与三角形 $I J K$ 的外接圆相交。 $$\text { 证明 } \angle B X P=\angle C X Q \text {. }$$