2001 IMO Shortlist S01

Let $T$ denote the set of all ordered triples $(p,q,r)$ of nonnegative integers. Find all functions $f: T \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying

$$ f(p,q,r) = \begin{cases} 0 & \text{if} \; pqr = 0,

1 + \frac{1}{6}(f(p + 1,q - 1,r) + f(p - 1,q + 1,r) &

+ f(p - 1,q,r + 1) + f(p + 1,q,r - 1) &

+ f(p,q + 1,r - 1) + f(p,q - 1,r + 1)) & \text{otherwise} \end{cases}

$$

for all nonnegative integers $p$ , $q$ , $r$ .

令 $T$ 表示所有有序三元组 $(p,q,r)$ 非负整数的集合。查找所有函数 $f: T \rightarrow \mathbb{R}$ 满足

$$ f(p,q,r) = \begin{cases} 0 & \text{if} \; pqr = 0,

1 + \frac{1}{6}(f(p + 1,q - 1,r) + f(p - 1,q + 1,r) &

+ f(p - 1,q,r + 1) + f(p + 1,q,r - 1) &

+ f(p,q + 1,r - 1) + f(p,q - 1,r + 1)) & \text{否则} \end{案例}

$$

对于所有非负整数 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 。