灯下 登录
番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / S09 · functional-equations

2005 IMO Shortlist S09

书架 上一节 下一节
内容 2005 · 118
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2005 S09 functional-equations

Find all functions f:R→Rf: \mathbb{R}\to\mathbb{R} such that f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1 for all real numbers xx and yy .

*Proposed by B.J. Venkatachala, India*

查找所有函数 f:R→Rf: \mathbb{R}\to\mathbb{R} 使得 f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1 对于所有实数 xx 和 yy 。

*由印度 B.J. Venkatachala 提议*

提示 1

先代入 0、1、相等变量或会让一边简化的值。

提示 2

检查方程是否强迫单调、周期、单射、满射或常值。

提示 3

把递推链闭合，最后回代验证所有解。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2005 年 IMO Shortlist S09 可先归入函数方程：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

我的笔记 自动保存