2019 IMO Shortlist N3

We say that a set $S$ of integers is rootiful if, for any positive integer $n$ and any $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} \in S$, all integer roots of the polynomial $a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}$ are also in $S$. Find all rootiful sets of integers that contain all numbers of the form $2^{a}-2^{b}$ for positive integers $a$ and $b$. (Czech Republic)

如果对于任何正整数 $n$ 和任何 $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} \in S$，多项式 $a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}$ 的所有整数根也在 $S$ 中，则我们说整数集合 $S$ 是有根的。对于正整数 $a$ 和 $b$，查找包含 $2^{a}-2^{b}$ 形式的所有数字的所有整数根集。 (捷克共和国)