2009 IMO Shortlist N5

HUN Let $P(x)$ be a non-constant polynomial with integer coefficients. Prove that there is no function $T$ from the set of integers into the set of integers such that the number of integers $x$ with $T^{n}(x)=x$ is equal to $P(n)$ for every $n \geq 1$, where $T^{n}$ denotes the $n$-fold application of $T$.

HUN 令 $P(x)$ 为具有整数系数的非常数多项式。证明不存在从整数集合到整数集合的函数 $T$，使得对于每个 $n \geq 1$，$T^{n}(x)=x$ 的整数 $x$ 的数量等于 $P(n)$，其中 $T^{n}$ 表示 $T$ 的 $n$ 倍应用。