2003 IMO Shortlist S05

Let $m$ be a fixed integer greater than $1$ . The sequence $x_0$ , $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ is defined as follows:
$$x_i = \begin{cases}2^i&\text{if }0\leq i \leq m - 1;\sum_{j=1}^mx_{i-j}&\text{if }i\geq m.\end{cases}$$
Find the greatest $k$ for which the sequence contains $k$ consecutive terms divisible by $m$ .

*Proposed by Marcin Kuczma, Poland*

令 $m$ 为大于 $1$ 的固定整数。序列 $x_0$ 、 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $\ldots$ 定义如下：

$$x_i = \begin{cases}2^i&\text{if }0\leq i \leq m - 1;\sum_{j=1}^mx_{i-j}&\text{if }i\geq m.\end{cases}$$

找到序列中包含可被 $m$ 整除的 $k$ 个连续项的最大 $k$ 。

*由波兰 Marcin Kuczma 提出*