2018 IMO Shortlist N6

Let $f:\{1,2,3, \ldots\} \rightarrow\{2,3, \ldots\}$ be a function such that $f(m+n) \mid f(m)+f(n)$ for all pairs $m, n$ of positive integers. Prove that there exists a positive integer $c>1$ which divides all values of $f$. (Mexico)

设 $f:\{1,2,3, \ldots\} \rightarrow\{2,3, \ldots\}$ 是一个函数，使得 $f(m+n) \mid f(m)+f(n)$ 对于所有正整数对 $m, n$ 而言。证明存在一个正整数 $c>1$ 可以整除 $f$ 的所有值。 (墨西哥)