2003 IMO Shortlist S21

Let $ABC$ be a triangle with semiperimeter $s$ and inradius $r$ . The semicircles with diameters $BC$ , $CA$ , $AB$ are drawn on the outside of the triangle $ABC$ . The circle tangent to all of these three semicircles has radius $t$ . Prove that
$$\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)r.$$
*Alternative formulation.* In a triangle $ABC$ , construct circles with diameters $BC$ , $CA$ , and $AB$ , respectively. Construct a circle $w$ externally tangent to these three circles. Let the radius of this circle $w$ be $t$ .
Prove: $\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\frac12\left(2-\sqrt3\right)r$ , where $r$ is the inradius and $s$ is the semiperimeter of triangle $ABC$ .

*Proposed by Dirk Laurie, South Africa*

设 $ABC$ 为半周长 $s$ 和内半径 $r$ 的三角形。直径为 $BC$ 、 $CA$ 、 $AB$ 的半圆绘制在三角形 $ABC$ 的外侧。与所有这三个半圆相切的圆的半径为 $t$ 。证明

$$\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)r。$$

*替代公式。* 在三角形 $ABC$ 中，分别构造直径为 $BC$ 、 $CA$ 和 $AB$ 的圆。构造一个与这三个圆外切的圆 $w$。设该圆的半径 $w$ 为 $t$ 。

证明： $\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\frac12\left(2-\sqrt3\right)r$ ，其中 $r$ 是三角形 $ABC$ 的内半径，$s$ 是三角形 $ABC$ 的半周长。

*由南非 Dirk Laurie 提议*