2024 IMO Shortlist A4

Let $\mathbb{Z}_{>0}$ be the set of all positive integers. Determine all subsets $S$ of $\{2^0,2^1,2^2,\ldots\}$ for which there exists a function $f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ such that

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S=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{>0}\}.

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设 $\mathbb{Z}_{>0}$ 为所有正整数的集合。确定 $\{2^0,2^1,2^2,\ldots\}$ 的所有子集 $S$，使得存在函数 $f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ 满足

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S=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{>0}\}.

$$