2009 IMO Shortlist N3

EST Let $f$ be a non-constant function from the set of positive integers into the set of positive integers, such that $a-b$ divides $f(a)-f(b)$ for all distinct positive integers $a, b$. Prove that there exist infinitely many primes $p$ such that $p$ divides $f(c)$ for some positive integer $c$.

EST 设 $f$ 是从正整数集合到正整数集合的非常数函数，使得 $a-b$ 对于所有不同的正整数 $a, b$ 整除 $f(a)-f(b)$。证明存在无限多个素数 $p$，使得 $p$ 能除以 $f(c)$ 得到某个正整数 $c$。