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番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / A5 · algebra

2015 IMO Shortlist A5

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内容 2015 · 395
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2015 A5 algebra

Let 2Z+12 \mathbb{Z}+1 denote the set of odd integers. Find all functions f:Z→2Z+1f: \mathbb{Z} \rightarrow 2 \mathbb{Z}+1 satisfying f(x+f(x)+y)+f(x−f(x)−y)=f(x+y)+f(x−y)f(x+f(x)+y)+f(x-f(x)-y)=f(x+y)+f(x-y) for every x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}.

令 2Z+12 \mathbb{Z}+1 表示奇数整数集。查找所有函数 f:Z→2Z+1f: \mathbb{Z} \rightarrow 2 \mathbb{Z}+1 对于每个 x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z} 满足 f(x+f(x)+y)+f(x−f(x)−y)=f(x+y)+f(x−y)f(x+f(x)+y)+f(x-f(x)-y)=f(x+y)+f(x-y)。

提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2015 年 IMO Shortlist A5 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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