2020 IMO Shortlist N1

Given a positive integer $k$, show that there exists a prime $p$ such that one can choose distinct integers $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k+3} \in\{1,2, \ldots, p-1\}$ such that $p$ divides $a_{i} a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3}-i$ for all $i=1,2, \ldots, k$. (South Africa)

给定一个正整数 $k$，证明存在素数 $p$，使得可以选择不同的整数 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k+3} \in\{1,2, \ldots, p-1\}$ 使得 $p$ 可以除以 $a_{i} a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3}-i$ 对于所有 $i=1,2， \ldots，k$。 (南非)