2008 IMO Shortlist A7

Prove that for any four positive real numbers $a, b, c, d$ the inequality $$\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b} \geq 0$$ holds. Determine all cases of equality.

证明对于任意四个正实数 $a, b, c, d$，不等式 $$\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b} \geq 0$$ 成立。确定所有平等的情况。