2002 IMO Shortlist S15

Let $A$ be a non-empty set of positive integers. Suppose that there are positive integers $b_1,\ldots b_n$ and $c_1,\ldots,c_n$ such that

- for each $i$ the set $b_iA+c_i=\left\{b_ia+c_i: a\in A\right\}$ is a subset of $A$ , and

- the sets $b_iA+c_i$ and $b_jA+c_j$ are disjoint whenever $i\ne j$

Prove that $${1\over b_1}+\,\ldots\,+{1\over b_n}\leq1.$$

令 $A$ 为非空正整数集。假设有正整数 $b_1,\ldots b_n$ 和 $c_1,\ldots,c_n$ 使得

- 对于每个 $i$ ，集合 $b_iA+c_i=\left\{b_ia+c_i: a\in A\right\}$ 是 $A$ 的子集，并且

- 每当 $i\ne j$ 时，集合 $b_iA+c_i$ 和 $b_jA+c_j$ 是不相交的

证明 $${1\over b_1}+\,\ldots\,+{1\over b_n}\leq1.$$