2004 IMO Shortlist S05

Find all functions $f: \mathbb{N^{*}}\to \mathbb{N^{*}}$ satisfying
$$\left(f^{2}\left(m\right)+f\left(n\right)\right) \mid \left(m^{2}+n\right)^{2}$$
for any two positive integers $m$ and $n$ .

*Remark.* The abbreviation $\mathbb{N^{*}}$ stands for the set of all positive integers: $\mathbb{N^{*}}=\left\{1,2,3,...\right\}$ .
By $f^{2}\left(m\right)$ , we mean $\left(f\left(m\right)\right)^{2}$ (and not $f\left(f\left(m\right)\right)$ ).

*Proposed by Mohsen Jamali, Iran*

找到所有函数 $f: \mathbb{N^{*}}\to \mathbb{N^{*}}$ 满足

$$\left(f^{2}\left(m\right)+f\left(n\right)\right) \mid \left(m^{2}+n\right)^{2}$$

对于任意两个正整数 $m$ 和 $n$ 。

*备注。* 缩写 $\mathbb{N^{*}}$ 代表所有正整数的集合： $\mathbb{N^{*}}=\left\{1,2,3,...\right\}$ 。
$f^{2}\left(m\right)$ ，我们的意思是 $\left(f\left(m\right)\right)^{2}$ (而不是 $f\left(f\left(m\right)\right)$ )。

*由伊朗 Mohsen Jamali 提议*