2015 IMO Shortlist C5

Consider an infinite sequence $a_{1}, a_{2}, \ldots$ of positive integers with $a_{i} \leq 2015$ for all $i \geq 1$. Suppose that for any two distinct indices $i$ and $j$ we have $i+a_{i} \neq j+a_{j}$. Prove that there exist two positive integers $b$ and $N$ such that $$\left|\sum_{i=m+1}^{n}\left(a_{i}-b\right)\right| \leq 1007^{2}$$ whenever $n>m \geq N$.

考虑正整数的无限序列 $a_{1}, a_{2}, \ldots$，其中所有 $i \geq 1$ 的 $a_{i} \leq 2015$。假设对于任意两个不同的索引 $i$ 和 $j$，我们有 $i+a_{i} \neq j+a_{j}$。证明存在两个正整数 $b$ 和 $N$ 使得 $$ \left|\sum_{i=m+1}^{n}\left(a_{i}-b\right)\right|每当 $n>m \geq N$ 时，\leq 1007^{2} $$。