2008 IMO Shortlist A4

For an integer $m$, denote by $t(m)$ the unique number in $\{1,2,3\}$ such that $m+t(m)$ is a multiple of 3. A function $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ satisfies $f(-1)=0, f(0)=1, f(1)=-1$ and $$f\left(2^{n}+m\right)=f\left(2^{n}-t(m)\right)-f(m) \quad \text { for all integers } m, n \geq 0 \text { with } 2^{n}>m \text {. }$$ Prove that $f(3 p) \geq 0$ holds for all integers $p \geq 0$.

对于整数 $m$，用 $t(m)$ 表示 $\{1,2,3\}$ 中的唯一数字，使得 $m+t(m)$ 是 3 的倍数。函数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 满足 $f(-1)=0、f(0)=1、f(1)=-1$ 和 f\left(2^{n}+m\right)=f\left(2^{n}-t(m)\right)-f(m) \quad \text { 对于所有整数 } m, n \geq 0 \text { 和 } 2^{n}>m \text {。 证明 $f(3 p) \geq 0$ 对于所有整数 $p \geq 0$ 成立。