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番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / A7 · algebra

2011 IMO Shortlist A7

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内容 2011 · 281
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2011 A7 algebra

Let a,ba, b, and cc be positive real numbers satisfying min⁡(a+b,b+c,c+a)>2\min (a+b, b+c, c+a)>\sqrt{2} and a2+b2+c2=3a^{2}+b^{2}+c^{2}=3. Prove that a(b+c−a)2+b(c+a−b)2+c(a+b−c)2≥3(abc)2\frac{a}{(b+c-a)^{2}}+\frac{b}{(c+a-b)^{2}}+\frac{c}{(a+b-c)^{2}} \geq \frac{3}{(a b c)^{2}}

设a、ba、b和cc为满足min⁡(a+b,b+c,c+a)>2\min(a+b,b+c,c+a)>\sqrt{2}和a2+b2+c2=3a^{2}+b^{2}+c^{2}=3的正实数。证明 a(b+c−a)2+b(c+a−b)2+c(a+b−c)2≥3(abc)2\frac{a}{(b+c-a)^{2}}+\frac{b}{(c+a-b)^{2}}+\frac{c}{(a+b-c)^{2}} \geq \frac{3}{(a b c)^{2}}

提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2011 年 IMO Shortlist A7 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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