内容 2017 · 460
来源 context
题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
A rectangle with odd integer side lengths is divided into small rectangles with integer side lengths. Prove that there is at least one among the small rectangles whose distances from the four sides of are either all odd or all even. (Singapore)
边长为奇数整数的矩形 被分成边长为整数的小矩形。证明到 四个边的距离至少有一个小矩形要么全为奇数，要么全为偶数。 (新加坡)
提示 1
先决定对象是什么：集合、图、排列、颜色、路径，还是一次操作后的状态。
提示 2
找一个极端对象、双计数式、不变量，或把限制转成图上的局部条件。
提示 3
把局部限制累加成全局矛盾，或给出覆盖全部情形的构造。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2017 年 IMO Shortlist C1 可先归入组合：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？
我的笔记 自动保存