2020 IMO Shortlist A2

Let $\mathcal{A}$ denote the set of all polynomials in three variables $x, y, z$ with integer coefficients. Let $\mathcal{B}$ denote the subset of $\mathcal{A}$ formed by all polynomials which can be expressed as $$(x+y+z) P(x, y, z)+(x y+y z+z x) Q(x, y, z)+x y z R(x, y, z)$$ with $P, Q, R \in \mathcal{A}$. Find the smallest non-negative integer $n$ such that $x^{i} y^{j} z^{k} \in \mathcal{B}$ for all nonnegative integers $i, j, k$ satisfying $i+j+k \geq n$. (Venezuela)

令 $\mathcal{A}$ 表示三个变量 $x, y, z$ 中具有整数系数的所有多项式的集合。设$\mathcal{B}$表示$\mathcal{A}$由所有多项式组成的子集，可表示为$$(x+y+z) P(x, y, z)+(x y+y z+z x) Q(x, y, z)+x y z R(x, y, z)$$，其中$P, Q, R \in \mathcal{A}$。找到满足 $i+j+k \geq n$ 的所有非负整数 $i, j, k$ 的最小非负整数 $n$，使得 $x^{i} y^{j} z^{k} \in \mathcal{B}$ 成立。 (委内瑞拉)