2012 IMO Shortlist A2

Let $\mathbb{Z}$ and $\mathbb{Q}$ be the sets of integers and rationals respectively. a) Does there exist a partition of $\mathbb{Z}$ into three non-empty subsets $A, B, C$ such that the sets $A+B, B+C, C+A$ are disjoint? b) Does there exist a partition of $\mathbb{Q}$ into three non-empty subsets $A, B, C$ such that the sets $A+B, B+C, C+A$ are disjoint? Here $X+Y$ denotes the set $\{x+y \mid x \in X, y \in Y\}$, for $X, Y \subseteq \mathbb{Z}$ and $X, Y \subseteq \mathbb{Q}$.

令 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Q}$ 分别为整数集和有理数集。 a) 是否存在将 $\mathbb{Z}$ 划分为三个非空子集 $A, B, C$，使得集合 $A+B, B+C, C+A$ 不相交？ b) 是否存在将 $\mathbb{Q}$ 划分为三个非空子集 $A、B、C$，使得集合 $A+B、B+C、C+A$ 不相交？这里 $X+Y$ 表示集合 $\{x+y \mid x \in X, y \in Y\}$，对于 $X, Y \subseteq \mathbb{Z}$ 和 $X, Y \subseteq \mathbb{Q}$。