2002 IMO Shortlist S03

Circles $S_1$ and $S_2$ intersect at points $P$ and $Q$ . Distinct points $A_1$ and $B_1$ (not at $P$ or $Q$ ) are selected on $S_1$ . The lines $A_1P$ and $B_1P$ meet $S_2$ again at $A_2$ and $B_2$ respectively, and the lines $A_1B_1$ and $A_2B_2$ meet at $C$ . Prove that, as $A_1$ and $B_1$ vary, the circumcentres of triangles $A_1A_2C$ all lie on one fixed circle.

圆 $S_1$ 和 $S_2$ 相交于点 $P$ 和 $Q$ 。在 $S_1$ 上选择不同的点 $A_1$ 和 $B_1$ (不在 $P$ 或 $Q$ 处)。线 $A_1P$ 和 $B_1P$ 再次分别在 $A_2$ 和 $B_2$ 处与 $S_2$ 相交，并且线 $A_1B_1$ 和 $A_2B_2$ 在 $C$ 处相交。证明，当$A_1$和$B_1$变化时，三角形$A_1A_2C$的外心都位于一个固定圆上。