2021 IMO Shortlist N8

For a polynomial $P(x)$ with integer coefficients let $P^{1}(x)=P(x)$ and $P^{k+1}(x)=$ $P\left(P^{k}(x)\right)$ for $k \geq 1$. Find all positive integers $n$ for which there exists a polynomial $P(x)$ with integer coefficients such that for every integer $m \geq 1$, the numbers $P^{m}(1), \ldots, P^{m}(n)$ leave exactly $\left\lceil n / 2^{m}\right\rceil$ distinct remainders when divided by $n$.

对于具有整数系数的多项式 $P(x)$，令 $P^{1}(x)=P(x)$ 和 $P^{k+1}(x)=$ $P\left(P^{k}(x)\right)$ 对于 $k \geq 1$。找到所有正整数 $n$，其中存在一个具有整数系数的多项式 $P(x)$，使得对于每个整数 $m \geq 1$，数字 $P^{m}(1), \ldots, P^{m}(n)$ 在除以 $n$ 时恰好留下 $\left\lceil n / 2^{m}\right\rceil$ 不同的余数。