灯下 登录
番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / A2 · algebra

2009 IMO Shortlist A2

书架 上一节 下一节
内容 2009 · 218
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2009 A2 algebra

EST Let a,b,ca, b, c be positive real numbers such that 1a+1b+1c=a+b+c\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c. Prove that 1(2a+b+c)2+1(2b+c+a)2+1(2c+a+b)2≤316\frac{1}{(2 a+b+c)^{2}}+\frac{1}{(2 b+c+a)^{2}}+\frac{1}{(2 c+a+b)^{2}} \leq \frac{3}{16}

EST 设 a,b,ca, b, c 为正实数，使得 1a+1b+1c=a+b+c\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c。证明 1(2a+b+c)2+1(2b+c+a)2+1(2c+a+b)2≤316\frac{1}{(2 a+b+c)^{2}}+\frac{1}{(2 b+c+a)^{2}}+\frac{1}{(2 c+a+b)^{2}} \leq \frac{3}{16}

提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2009 年 IMO Shortlist A2 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

我的笔记 自动保存