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番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / N2 · number-theory

2010 IMO Shortlist N2

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内容 2010 · 270
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2010 N2 number-theory

Find all pairs (m,n)(m, n) of nonnegative integers for which m2+2⋅3n=m(2n+1−1)m^{2}+2 \cdot 3^{n}=m\left(2^{n+1}-1\right) (Australia) Answer. (6,3),(9,3),(9,5),(54,5)(6,3),(9,3),(9,5),(54,5).

查找所有满足 m2+2⋅3n=m(2n+1−1)m^{2}+2 \cdot 3^{n}=m\left(2^{n+1}-1\right) (澳大利亚)答案的非负整数对 (m,n)(m, n)。 (6,3),(9,3),(9,5),(54,5)(6,3),(9,3),(9,5),(54,5)。

提示 1

先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。

提示 2

把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。

提示 3

若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2010 年 IMO Shortlist N2 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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