2019 IMO Shortlist A7

Let $\mathbb{Z}$ be the set of integers. We consider functions $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ satisfying $$f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y)$$ for all integers $x$ and $y$. For such a function, we say that an integer $v$ is $f$-rare if the set $$X_{v}=\{x \in \mathbb{Z}: f(x)=v\}$$ is finite and nonempty. (a) Prove that there exists such a function $f$ for which there is an $f$-rare integer. (b) Prove that no such function $f$ can have more than one $f$-rare integer.

令 $\mathbb{Z}$ 为整数集。我们考虑函数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 对于所有整数 $x$ 和 $y$ 满足 $$f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y)$$。对于这样的函数，如果集合 $$X_{v}=\{x \in \mathbb{Z}: f(x)=v\}$$ 是有限且非空的，我们就说整数 $v$ 是 $f$-rare。 (a) 证明存在这样一个函数$f$，其中存在一个$f$-稀有整数。 (b) 证明这样的函数 $f$ 不能有多个 $f$-rare 整数。