2023 IMO Shortlist A4

Let $\mathbb{R}_{>0}$ be the set of positive real numbers. Determine all functions $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ such that $$x(f(x)+f(y)) \geq(f(f(x))+y) f(y)$$ for every $x, y \in \mathbb{R}_{>0}$. (Belgium)

令 $\mathbb{R}_{>0}$ 为正实数集合。确定所有函数 $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$，使得 $$x(f(x)+f(y)) \geq(f(f(x))+y) f(y)$$ 对于每个 $x, y \in \mathbb{R}_{>0}$。 (比利时)