2024 IMO Shortlist N7

Let $\mathbb{Z}_{>0}$ denote the set of positive integers. Let $f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ be a function satisfying the following property: for $m,n\in\mathbb{Z}_{>0}$, the equation
$$f(mn)^2=f(m^2)f(f(n))f(mf(n))$$
holds if and only if $m$ and $n$ are coprime.

For each positive integer $n$, determine all the possible values of $f(n)$.

设 $\mathbb{Z}_{>0}$ 表示正整数集。设 $f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ 为满足下列性质的函数：对 $m,n\in\mathbb{Z}_{>0}$，方程

$$

f(mn)^2=f(m^2)f(f(n))f(mf(n))

$$

成立，当且仅当 $m$ 与 $n$ 互素。

对每个正整数 $n$，确定 $f(n)$ 的所有可能值。