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番外 · 闲灯 / IMO Shortlist / N3 · number-theory

2007 IMO Shortlist N3

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内容 2007 · 186
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2007 N3 number-theory

Let XX be a set of 10000 integers, none of them is divisible by 47 . Prove that there exists a 2007-element subset YY of XX such that a−b+c−d+ea-b+c-d+e is not divisible by 47 for any a,b,c,d,e∈Ya, b, c, d, e \in Y. (Netherlands)

令 XX 为一组 10000 个整数，其中没有一个能被 47 整除。证明 XX 存在一个 2007 个元素的子集 YY，使得对于 Y中的任何中的任何a、b、c、d、e，a−b+c−d+ea-b+c-d+e 不能被 47 整除。 (荷兰)

提示 1

先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。

提示 2

把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。

提示 3

若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2007 年 IMO Shortlist N3 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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