2016 IMO Shortlist G7

Let $I$ be the incentre of a non-equilateral triangle $A B C, I_{A}$ be the $A$-excentre, $I_{A}^{\prime}$ be the reflection of $I_{A}$ in $B C$, and $l_{A}$ be the reflection of line $A I_{A}^{\prime}$ in $A I$. Define points $I_{B}, I_{B}^{\prime}$ and line $l_{B}$ analogously. Let $P$ be the intersection point of $l_{A}$ and $l_{B}$. (a) Prove that $P$ lies on line $O I$ where $O$ is the circumcentre of triangle $A B C$. (b) Let one of the tangents from $P$ to the incircle of triangle $A B C$ meet the circumcircle at points $X$ and $Y$. Show that $\angle X I Y=120^{\circ}$.

设$I$为非等边三角形$A B C的内心，I_{A}$为$A$的偏心，$I_{A}^{\prime}$为$I_{A}$在$B C$中的镜像，$l_{A}$为$A I_{A}^{\prime}$在$A I$中的镜像。类似地定义点 $I_{B}、I_{B}^{\prime}$ 和线 $l_{B}$。令 $P$ 为 $l_{A}$ 和 $l_{B}$ 的交点。 (a) 证明 $P$ 位于线 $O I$ 上，其中 $O$ 是三角形 $A B C$ 的外心。 (b) 让 $P$ 到三角形 $A B C$ 的内切圆的切线之一在点 $X$ 和 $Y$ 处与外接圆相交。证明$\angle X I Y=120^{\circ}$。