2017 IMO Shortlist G4

In triangle $A B C$, let $\omega$ be the excircle opposite $A$. Let $D, E$, and $F$ be the points where $\omega$ is tangent to lines $B C, C A$, and $A B$, respectively. The circle $A E F$ intersects line $B C$ at $P$ and $Q$. Let $M$ be the midpoint of $A D$. Prove that the circle $M P Q$ is tangent to $\omega$. (Denmark)

在三角形 $A B C$ 中，设 $\omega$ 为与 $A$ 相对的外圆。令 $D、E$ 和 $F$ 分别为 $\omega$ 与线 $B C、C A$ 和 $A B$ 相切的点。圆 $A E F$ 与线 $B C$ 相交于 $P$ 和 $Q$。令 $M$ 为 $A D$ 的中点。证明圆 $M P Q$ 与 $\omega$ 相切。 (丹麦)