2016 IMO Shortlist A5

(a) Prove that for every positive integer $n$, there exists a fraction $\frac{a}{b}$ where $a$ and $b$ are integers satisfying $0<b \leq \sqrt{n}+1$ and $\sqrt{n} \leq \frac{a}{b} \leq \sqrt{n+1}$. (b) Prove that there are infinitely many positive integers $n$ such that there is no fraction $\frac{a}{b}$ where $a$ and $b$ are integers satisfying $0<b \leq \sqrt{n}$ and $\sqrt{n} \leq \frac{a}{b} \leq \sqrt{n+1}$.

(a) 证明对于每个正整数 $n$，都存在一个分数 $\frac{a}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 是满足 $0<b \leq \sqrt{n}+1$ 和 $\sqrt{n} \leq \frac{a}{b} \leq \sqrt{n+1}$ 的整数。 (b) 证明存在无穷多个正整数 $n$，使得不存在分数 $\frac{a}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 是满足 $0<b \leq \sqrt{n}$ 和 $\sqrt{n} \leq \frac{a}{b} \leq \sqrt{n+1}$ 的整数。