2004 IMO Shortlist S10

Let $O$ be the circumcenter of an acute-angled triangle $ABC$ with ${\angle B<\angle C}$ . The line $AO$ meets the side $BC$ at $D$ . The circumcenters of the triangles $ABD$ and $ACD$ are $E$ and $F$ , respectively. Extend the sides $BA$ and $CA$ beyond $A$ , and choose on the respective extensions points $G$ and $H$ such that ${AG=AC}$ and ${AH=AB}$ . Prove that the quadrilateral $EFGH$ is a rectangle if and only if ${\angle ACB-\angle ABC=60^{\circ }}$ .

*Proposed by Hojoo Lee, Korea*

设 $O$ 为锐角三角形 $ABC$ 的外心，其中 ${\angle B<\angle C}$ 。线 $AO$ 在 $D$ 处与边 $BC$ 相交。三角形 $ABD$ 和 $ACD$ 的外心分别是 $E$ 和 $F$ 。将边 $BA$ 和 $CA$ 延伸到 $A$ 之外，并在相应的延伸点 $G$ 和 $H$ 上进行选择，使得 ${AG=AC}$ 和 ${AH=AB}$ 。证明四边形 $EFGH$ 是矩形当且仅当 ${\angle ACB-\angle ABC=60^{\circ }}$ 。

*由韩国 Hojoo Lee 提出*