2002 IMO Shortlist S14

Let $n$ be a positive integer that is not a perfect cube. Define real numbers $a,b,c$ by

$$a=\root3\of n\kern1.5pt,\qquad b={1\over a-[a]}\kern1pt,\qquad c={1\over b-[b]}\kern1.5pt,$$

where $[x]$ denotes the integer part of $x$ . Prove that there are infinitely many such integers $n$ with the property that there exist integers $r,s,t$ , not all zero, such that $ra+sb+tc=0$ .

令 $n$ 为非完美立方的正整数。定义实数 $a,b,c$ 通过

$$a=\root3\of n\kern1.5pt,\qquad b={1\over a-[a]}\kern1pt,\qquad c={1\over b-[b]}\kern1.5pt,$$

其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分。证明存在无限多个这样的整数 $n$ ，并且具有存在整数 $r,s,t$ 且不全为零的属性，使得 $ra+sb+tc=0$ 。